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2022-07-22 22:41:15

大约一百年前，德国数学家豪斯朵夫问了一个看似奇特的问题：如何判断一个空间的维度。

在传统的数学体系里这问题没有意义，维度是在定义空间之初就预设好的。点是零维，线是一维，面是二维，诸如此类。

正方形（左），立方体（中），四维超立方体（右）。

但豪斯朵夫的问题是，如果不是一个传统的连续空间，如果根本就是一个离散但密集的个体的集合，如果它的结构复杂混乱，不能简单刻画为一条线或一个面，我们该怎么定义它的维度呢？

他提出了一个极具洞见，既新颖又深刻的思路。在传统的几何学里，空间的大小是维度的的指数函数。一维空间如果尺度倍增，空间也会扩大两倍，二维空间尺度倍增之后会扩大四倍，三维空间会扩大八倍。依次类推。豪斯朵夫说：既然如此，就把维度反过来定义为空间尺度变化的对数好了。如果一个空间的尺度倍增之后扩大了 2 的 n 次方，就可以说这个空间是 n 维的。

这个想法的威力在于，它完全不需要这个空间有任何规整的几何结构，可以定义在任何曲折混沌的对象上。而维度甚至也不需要是固定的整数。在上面那个定义里，n 是被计算出来的，而计算的结果可能是任何非负实数，一个空间完全可以是 1.58 维的。也没有理由它一定在空间内部处处相等，维度是个局部的概念，不是全局的。

就这样，豪斯朵夫大大解放了人们对于维度的理解。他的洞察源于这样一个简单但又极少被重视的事实：古典的几何对象只能够刻画简单完美的形状，而现实世界要模糊晦涩得多。非整数维度并不是数学的臆想，恰恰相反，不完美的维度是大自然的本质，反倒是纯粹的点线面体才是数学家高度抽象的理想概念。正如半个世纪后将豪斯朵夫的观念发扬光大的分形几何创始人孟德布洛特所说的那样：

“云朵不是球形，山峰不是锥体，海岸不圆滑，树皮不平整，闪电也并不是一条直线。”

显而易见，这种超越规整结构，试图探究纷乱离散的空间的观念在根本上就属于现代。豪斯朵夫的论文发表于一战结束不久的1919年，整个欧洲都在面对古典体系的崩塌和浩劫中支离破碎的社会。就在差不多同一个时期，斯特拉文斯基的春之祭在巴黎首演，粗暴的和弦和不规则的调性彻底告别了浪漫主义时期的古典音乐；毕加索正处在立体主义绘画创作的高峰期，竭力拆解几乎所有绘画对象的静态视角；德布罗意正在写博士论文，指出，任何物质都既是粒子也是波，量子力学的不确定性原理呼之欲出；维特根斯坦出版了名著《逻辑哲学论》，宣布：一切形而上学的陈述都是没有意义的。

虽然人们普遍相信数学是普适的，但数学观念的产生并不能脱离现实社会。豪斯朵夫的想法不会诞生在更早一二百年前的欧拉或者高斯的脑海里。如果外星人有和我们一样发达的数学，了解一下它们的社会发展到什么状态之后才出现了类似的概念，会是一件有趣的事。

如果要用同样的方式来理解社会，我们可以这样来粗略地定义维度：假定人和人的意识形态相似程度可以被度量出来，只要统计出一个人周围和他相似程度在一个特定距离以内的人数，把这个距离放大一倍之后的人数之比是 2 的几次方，在这个人的视角来看的社会就是几维的。

比方说：

一个理想中的所有人都紧密团结在一个核心周围的社会，扩大尺度并不会增加人数，所以这个社会是零维的。这是合情合理的事，一个万众一心的社会等同于它的核心，而单点当然是零维的。

一个简单的民主社会模型里，，如果这个分布是均匀的，把尺度扩大两倍就刚好能包括两倍的人数，所以这个社会是一维的。如果他们的分布在这条直线上并不均匀而是更集中在中间派周围，其维度就还要更小一些，介于 0 和 1 之间。

一个更现实一点的模型是人们并不排成一条纯粹的直线，同时还表现出其余方向上的差异性。他们的分布更像是一个橄榄球的形状。 Journal of Politics）上最近刊发的一篇论文里，作者所描述的中国社会的意识形态光谱分布大致就是这个模型，其维度大致介于 1 和 2 之间。

但真实的世界恐怕远比这些模型都复杂得多，今日尤其如此。社会早已不再围绕着一个统一的中间派作为核心，而是分裂成若干各自为政的气泡，画地为牢，渐行渐远。在社交媒体的作用下，由于议题的变幻，这些气泡之间可以表现出复杂的合纵连横，但彼此已经不再有情绪的共振和精神的团结，昨日的联盟会是明日的仇寇。不同的人在不同的视野中观察出的世界面貌可以全然不同，无法再用一个单一的维度和形状来描述它了，云朵和闪电也许才是更合适的比喻。

每位交易者，在群体中是有维数的，为什么你的交易很难获利？其实你的交易维数很低的原因。只有在足够高的维数上，才能看清楚所有交易者的行为，就如同熟透的苹果是高维数，青苹果是低维数一样，青苹果是没有办法理解熟苹果的。

获利者的维数，不是简单理解为你掌握信息的多少，前一篇文章我们讲解过，信息是不对称的，我们需要获得重要的信息，而重要的信息是很少的。在根本意识上，获利者的维数是足够智慧的博弈逻辑思维，而这个思维很难训练成功，自由天性。牛顿就是牛顿，没有人可以复制一样。

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